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Mathématiques, analyse 1. Fonction d'une variable réelle, fonction de plusieurs variables

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Mathématiques, analyse 1. Fonction d'une variable réelle, fonction de plusieurs variables

Description :

Ce tome 1 du Cours d'analyse est consacré à l'étude des fonctions d'une et de plusieurs variables. De nombreux exemples ou exercices corrigés doivent permettre au lecteur d'approfondir les notions fondamentales : continuité, dérivabilité, développement limité... Une approche numérique est également proposée : outre la vérification par le calcul de résultats théoriques, elle constitue une initiation à des méthodes algorithmiques fréquemment utilisées en analyse (dichotomie, itération par exemple). Les programmes correspondants sont écrits dans le langage des micro-ordinateurs portables : le BASIC. Cet ouvrage s'adresse non seulement aux étudiants des IUT ou des classes de BTS mais aussi à tous les utilisateurs de l'outil mathématique au niveau de l'enseignement technique supérieur.

Avant propos

C'ET ouvrage est destiné aux étudiants des Instituts Universitaires de Technologie, aux candidats préparant un brevet de technicien supérieur et plus généralement à tous ceux qui désirent se familiariser avec les méthodes mathématiques couramment utilisées dans I'étude des phénomènes scientifiques abordés à ce niveau.

Le cours d'Analyse comprend trois volumes conçus de la meme manière. Chaque chapitre contient:
  • le cours, illustré de nombreux exemples,
  • les exercices, suivis d'indications concernant leur solution.
Par ailleurs, afin de faciliter le passage du cours de Mathématiques à la Physique, certains chapitres sont completes par un paragraphe a application a la Physique : Ces paragraphes ne prétendent pas constituer to catalogue de toutes les applications possibles mais visent à dégager certains modèles mathématiques à partir de problèmes physiques courants.

Enfin, les applications numériques n'ont pas été négligées et mettent en évidence l'aspect pratique des théories exposées.

Il était hors de question de tout traiter dans ce cours destiné a des utilisateurs de Mathématiques et certaines propriétés ont été admises sans démonstration. La rigueur et la logique n'en sont pas pour autant sacrifiées. Il est ainsi permis d'espérer que cet ouvrage atteindra les deux objectifs pour lesquels il a été réalisé:
  • répondre aux préoccupations immédiates des étudiants;
  • contribuer à leur culture scientifique.

Tables de matiéres

1. Généralités sur les fonctions numériques.
Notion de fonction.
Propriétés d'une fonction numérique.
Fonctions élémentaires.
Opérations sur les fonctions numériques.
Exercices.

2. Limites
Définition. Opérations sur les limites.
Infiniment petits et infiniment grands.
Applications.
Exercices.

3. Fonctions continues.
Continuité en un point.
Opérations sur les fonctions continues.
Continuité sur un fermé.
Exercices.
Application à la Physique.

4. Fonctions inverses
Inversion d'une fonction.
Propriétés de la fonction inverse.
Fonctions inverses des fonctions puissance, des fonctions trigonométriques.
Exercices
.
5. Fonctions dérivables.
A. Dérivées.
B. Différentielles.
Exercices.

6. Formule des accroissements finis et applications.
Théorème de Rolle. Formule des accroissements finis.
Application au sens de variation des fonctions et au calcul d'erreur.
Exercices.
Application à la Physique.

7. Fonctions primitives. 
Définition et théorème fondamental.
Interprétation graphique.
Exercices.

8. Fonctions logarithmes.
A. Fonction logarithme népérien.
B. Fonctions logarithme de base $a .$ Logarithmes décimaux. Échelles logarithmiques.
Exercices.

9. Fonctions exponentielles.
Définition. Propriété fondamentale.
Étude de la fonction x-->f(x)=ex .
Fonctions exponentielles de base a.
Fonctions exponentielles généralisées.
Croissances comparies des fonctions logarithmes, puissances et exponentielles.
Exercices.
Application à la Physique.

10. Fonctions hyperboliques directes et inverses
A. Fonctions hyperboliques directes.
B. Fonctions hyperboliques inverses.
Exercices.

11. Formules de Taylor et de Mac Laurin .
Extension de la formule des accroissements finis.
Formule de Taylor. Formule de Mac Laurin.
Formule de Taylor pour les polynômes.
Applications de la formule de Taylor.
Exercices.

12. Développements limités Définition.
Développement limité de Mac Laurin.
Opérations sur les développements limités.
Applications des développements limités
Exercices.

13. Fonctions de plusieurs variables.
Distances et ouverts dans IRn.
Définition d'une fonction de plusieurs variables.
Continuité. Dérivées partielles.
Dérivée d'une fonction composée.
Fonction implicite.
Exercices.

14. Formule de Taylor.
Différentielle totale.
Formule des accroissements finis, Formule de Taylor.
Différentielle totale.
Application au calcul d'erreur.
Formes différentielles.
Exercices.
Application a la Physique.

Titre : Mathématiques, analyse 1. Fonction d'une variable réelle, fonction de plusieurs variables

auteur(s) : P. Thuillier, J.-C. Belloc

size : 4 Mb

file type : djvu




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