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Fonctions de transfert et circuits linéaires: Introduction aux techniques de calcul rapide

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Fonctions de transfert et circuits linéaires: Introduction aux techniques de calcul rapide

Description :

Une fonction de transfert est un modèle mathématique qui permet de prédire le comportement d'un circuit électronique. Compte tenu de la complexité des circuits et des variations possibles liées à chaque composant (vieillissement, sensibilité à l'échauffement...) le calcul mathématique de ces fonctions peut s'avérer très complexe. Certains simulateurs logiciels (de type Spice) peuvent être utilisés, mais ils donnent un résultat global, et ne révèlent pas le rôle de chaque élément dans le comportement du circuit.

Les techniques de calcul rapide présentées dans ce livre ne remplacent pas les techniques traditionnelles, mais en étendent la portée. Elles s'appuient sur la constante de temps, qui régit le comportement dynamique du tout circuit. La forme simplifiée de la fonction de transfert ainsi obtenue fonctionne non seulement pour des circuits passifs (qui ne comportent que des résistances par exemple), mais également avec des circuits actifs (qui incluent des transistors ou des amplificateurs opérationnels).

Cet ouvrage repose sur l'expérience de l'auteur dans l'application de cette méthode à des cas d'ingénierie concrets dans l'industrie. Les cinq chapitres comportent de nombreux exemples documentés et chacun se termine par dix cas pratiques détaillés.

Avant propos

L’analyse des réseaux linéaires électriques et électroniques utilise des méthodes éprouvées basées sur la mise en équations des mailles et nœuds caractéristiques des circuits étudiés. Associée à la transformée de Laplace, cette approche permet de prédire le comportement d’un circuit passif ou actif en régime harmonique : un stimulus sinusoïdal est appliqué sur une entrée qui, après cheminement dans les différents éléments constitutifs du circuit, produit une réponse observée sur la sortie. La relation mathématique liant la réponse au stimulus se nomme fonction de transfert. Il en existe six types différents comme nous le découvrirons plus tard.

De nombreux moyens permettent de déterminer cette fonction de transfert. Si tous conduisent au résultat exact, aucun n’offre un parcours simple vers une forme polynomiale factorisée. Or ce format reste indispensable si l’on souhaite identifier les éléments impliqués dans la production de zéros, de pôles ou de gains. En effet, ces termes sont associés à des composants dont la variabilité (tolérance, température, vieillissement par exemple) affecte la fonction de transfert et sa réponse en fréquence : dans un système bouclé, la stabilité peut pâtir d’une dispersion trop importante de l’un des éléments du compensateur, un filtre souffrira d’une perte de sélectivité si un condensateur ou une résistance dérivent en température ou encore, un oscillateur cessera toute activité car une résistance de moindre qualité déréglera l’accord. On comprend dès lors la nécessité d’identifier les composants participant à la position des pôles et des zéros afin de prendre des mesures neutralisant leur variabilité.

Parmi les méthodes analytiques généralement enseignées à l’université, aucune ne représente la panacée en termes d’efficacité. Que l’on évoque un système d’équations à plusieurs inconnues, une approche purement matricielle par les variables d’état ou encore la réduction de complexité par les théorèmes de Thévenin et Norton, le nombre d’étapes et l’énergie nécessaires à l’obtention du résultat ne varient quasiment pas. Bien adaptées à une étude purement numérique, ces méthodes perdent en efficacité lorsqu'il s’agit d’établir un résultat symbolique, c’est-à-dire, sous une forme capable de révéler l’influence de chacun des composants du circuit sur les pôles, les zéros ou le gain. Pire, selon le parcours adopté, la complexité des équations peut interdire la factorisation et engendre le blocage : c’est la paralysie algébrique.

La simulation par des logiciels spécialisés de type SPICE débouche, dans la plupart des cas, sur la représentation graphique de la fonction de transfert. Les diagrammes de Bode, Nyquist ou Black décrivent l’évolution du module et de la phase d’une fonction de transfert lors d’un balayage fréquentiel. Cependant, en dépit de sa rapidité de calcul, le simulateur ne révèle pas explicitement les éléments qui modifient le comportement du circuit considéré. Bien sûr, les études de sensibilité ou autre Monte Carlo peuvent pallier ce manque de compréhension du système et identifier des failles de conception ou des faiblesses dans des conditions particulières. Ce processus itératif engendrera des temps de simulation conséquents sans toutefois délivrer de réponse analytique sur l’origine du problème.

Les techniques de calculs rapides présentées dans ce livre ne remplacent pas les techniques traditionnelles mais en étendent la portée. Elles s’appuient sur l’élément qui régit le comportement dynamique de tout circuit électrique organisé autour d’un condensateur ou d’une bobine et d’une ou plusieurs résistances : la constante de temps. Cette constante de temps – unique pour un système du premier ordre – apparaît dans l’expression de la réponse temporelle d’un circuit linéaire. En étudiant l’organisation de la fonction de transfert autour de la constante de temps, il est possible d’établir une forme canonique caractéristique de tout système du premier ordre, étendue ensuite aux systèmes d’ordre n. L’identification des pièces constitutives de cette expression se fait pas à pas. Chaque élément est obtenu par la résolution d’un circuit élémentaire simple pour lequel il est souvent inutile de poser la moindre équation. On parle alors de résolution par inspection, simplement en observant l’agencement des composants dans l’architecture étudiée afin d’en déduire une caractéristique particulière. La méthode fonctionne pour des circuits passifs mais également actifs, incluant des transistors et amplificateurs opérationnels. En déterminant ses coefficients par le biais de schémas intermédiaires simples puis en les combinant naturellement sous une forme factorisée, la fonction de transfert apparaît suivant un format ordonné dit à faible entropie, ne nécessitant aucune énergie complémentaire pour révéler ses termes caractéristiques. Enfin, si une erreur apparaît lors de l’assemblage final, il est aisé de corriger le coefficient erroné en se concentrant uniquement sur l’étape qui a mené à sa détermination. Il n’est donc pas nécessaire de reprendre le calcul dans son intégralité comme c’est le cas avec les méthodes traditionnelles.

Basée sur des travaux d’Hendrik Bode datant des années 40, puis améliorée et formalisée au cours des années, cette méthode peine à trouver le succès qu’elle mérite malgré l’éclairage apporté par les travaux du professeur David Middlebrook sous la forme de son théorème de l’extra-élément (EET, Extra Element Theorem) documenté en 1990. Je pense que le formalisme mathématique alors utilisé et associé à des exemples souvent complexes a pu intimider le lecteur désireux de maitriser l’approche. Le présent ouvrage offre un regard résolument différent, basé sur l’expérience de l’auteur dans l’utilisation des techniques de calculs rapides (Fast Analytical Circuits Techniques, FACTs) sur des cas d’ingénierie concrets. En évoquant des circuits simples et appliquant des procédés connus tels que Thévenin ou Norton, le livre propose une approche didactique et simple dans l’apprentissage de cette méthode. Les quatre chapitres comportent de nombreux exemples documentés et se terminent tous par l’étude de cas pratiques résolus.

Ce livre s’adresse aux étudiants en électronique, électricité ou mesures physiques (IUT, BTS, masters I et II, écoles d’ingénieurs) à l’aise avec les méthodes traditionnelles et qui souhaitent découvrir un cheminement différent et original dans la résolution des problèmes posés. Il intéressera également les ingénieurs concevant des circuits électriques ou électroniques (puissance, communication, radiofréquences, filtrage) et désireux d’acquérir une méthode efficace immédiatement applicable aux projets en cours.

Table des matières

Au sujet de l’auteur
Avant-propos
Remerciements
1 Analyse électrique – terminologie et théorèmes
  1.1 Fonctions de transfert, une approche informelle
  1.2 Les quelques outils et théorèmes que vous n’avez pas oubliés
  1.3 Que dois-je retenir de ce chapitre ?
  1.4 Annexe du chapitre
2 Fonctions de transfert
  2.1 Systèmes linéaires
  2.2 Constantes de temps
  2.3 Formes polynomiales
  2.4 Premiers pas vers une fonction de transfert généralisée du premier ordre
  2.5 Que dois-je retenir de ce chapitre ?
  2.6 Annexe du chapitre 2
3 Superposition et le théorème de l’extra-élément
  3.1 Le théorème de superposition
  3.2 Le théorème de l’extra-élément
  3.3 Une fonction de transfert généralisée du premier ordre
  3.4 Que dois-je retenir de ce chapitre ?
  3.5 Annexe du chapitre 3
4 Fonctions de transfert du deuxième ordre
  4.1 Appliquer le théorème de l’extra-élément deux fois
  4.2 Une fonction de transfert généralisée du deuxième ordre
  4.3 Que dois-je retenir de ce chapitre ?
  4.4 Annexe du chapitre 4
Conclusion
Index

Titre : Fonctions de transfert et circuits linéaires - Introduction aux techniques de calcul rapide

auteur(s) : C.Basso

size : 10 Mb

file type : pdf



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