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Elements de la théorie des fonctions et de l'analyse fonctionnelle

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Elements de la theorie des fonctions et de l'analyse fonctionnelle

Description :

Dans cet ouvrage qui traite des questions générales de la théorie des ensembles, de la théorie des ensembles, de la théorie de la mesure et de l'intégration, ainsi que des idées et des méthodes générales de l'analyse fonctionnelle, les auteurs ont eu le souci d'accorder assez d'attention aux problèmes moins abstraits de l'analyse classique et même des mathématiques appliquées.

Avant propos

A la fin des années 40 un nouveau cours, nommé . Analyse III a été inclus dans les programmes de la Faculté des mathématiques de l'Université d'Etat de Moscou. Il comportait des éléments de la théorie de la mesure et de la théorie des fonctions, les équations intégrales, la théorie des espaces de Banach et certaines autres questions. Ce cours que nous avons professé pendant plusieurs années se trouve à l'origine du présent ouvrage. Par la suite, le cours d'Analyse III apparu premièrement à l'Université de Moscou, a été inclus dans les programmes d'autres universités. Tout en nous efforçant de donner dans cet ouvrage un exposé unique des questions générales de la théorie des ensembles, de la théorie de la mesure et de l'intégration, ainsi que des idées et des méthodes générales de l'analyse fonctionnelle, nous avons eu le souci d'accorder assez d'attention aux problèmes moins abstraits de l'analyse classique et même des mathématiques appliquées, où les questions citées plus haut trouvent leur application. Dans ses grandes lignes, le présent ouvrage correspond au programme du cours d'w Analyse III adopté actuellement dans les universités soviétiques.

A côté d'autres questions, nous avons réservé une place importante à la théorie générale de la mesure. A cette occasion il faut signaler l'apparition récente d'un grand nombre d'ouvrages traitant de la théorie de l'intégration à partir du schéma de Daniel sans faire appel à la théorie de la mesure. A notre point de vue, la théorie de la mesure qui est largement utilisée dans la théorie ergodique, dans la théorie des processus aléatoires, etc., présente assez d'intérêt en elle-même, indépendamment du problème de l'introduction de la notion d'intégrale, pour être incluse dans un cours universitaire obligatoire.

Pour la compréhension du contenu de ce livre le lecteur doit connaitre l'analyse mathématique élémentaire et les fondements de l'algèbre linéaire.

Lors de la traduction du livre en français le texte a été minutieusement revisé , les fautes d'impression et les défauts d'exposé remarqués ont été corrigés.

Une aide importante dans ce travail nous a été fournie par le rédacteur de l'édition française V. A. Medvedev que nous tenons à remercier.

Tables de matiéres

CHAPITRE PREMIER. ELEMENTS DE LA THÉORIE DES ENSEMBLES.
.1. Notion d'ensemble. Opérations sur les ensembles
2. Applications. Partition d'un ensemble
3. Ensembles Équipotents. Puissance d'un ensemble
4. Ensembles ordonnés. Nombres transfinis
5. Familles d'ensembles et applications

CHAPITRE II. ESPACES MÉTRIQUES ET TOPOLOGIQUES . .
1. Notion d'espace métrique
2. Convergence. Ensembles ou verts et ensembles fermés
3. Espaces métriques complets
4. Le principe des contractions et ses applications
5. Espaces topologiques
6. Compacité
7. Compacité dans les espaces métriques
8. Courbes continues dans les espaces métriques

CHAPITRE III. ESPACES VECTORIELS NORMES ET TOPOLOGIQUES
1. Espaces vectoriels
2. Ensembles convexes et fonctionnelles convexes. Théorème de HahnBanach
3. Espaces normes
4. Espaces euclidiens
5. Espaces vectoriels topologiques

CHAPITRE IV. FONCTIONNELLES LINÉAIRES ET OPÉRATEURS LINÉAIRES
1. Fonctionnelles linéaires continues
2. Espace dual
3. Topologie faible et convergence faible
4. Distributions
5. Opérateurs linéaires
6. Opérateurs compacts

CHAPITRE V. MESURE, FONCTIONS MESURABLES, INTÉGRALE
1. Mesure des ensembles du plan
2. Notion générale de mesure. Prolongement de la mesure d'un demi-anneau à un anneau. Additivité et a-additivité
3. Prolongement d'une mesure selon Lebesgue
4. Fonctions mesurables
5. Intégrale de Lebesgue
6. Produits directs des familles d'ensembles et des mesures. Théorème de Fubini

CHAPITRE VI. INTÉGRALE INDÉFINIE DE LEBESGUE. THÉORIE DE LA DÉRIVATION
1. Fonctions monotones. Dérivabilité de l'intégrale par rapport à la borne supérieure
2. Fonctions à variation bornée
3. Dérivée de l'intégrale indéfinie de Lebesgue
4. Recherche d'une fonction connaissant sa dérivée. Fonctions absolument continues
5. L'intégrale de Lebesgue comme fonction d'ensemble. Le théorème de Radon-Nikodym
6. Intégrale de Stieltjes

CHAPITRE VII. ESPACES DE FONCTIONS SOMMABLES
1. L'espace L1
1. L'espace L2
3. Systèmes orthogonaux de fonctions dans L1. Séries par rapport à un système orthogonal

CHAPITRE VII. SÉRIES TRIGONOMÉTRIQUES. TRANSFORMATION DE FOURIER
1. Conditions de convergence de là série de Fourier
2. Théorème de Fejér
3. Intégrale de Fourier
4. Transformation de Fourier, propriétés et applications
5. Transformation de Fourier dans l'espace L2
6. Transformation de Laplace
7. Transformation de Fourier-Stieltjes
8. Transformation de Fourier des distributions

CHAPITRE IX. ÉQUATIONS INTÉGRALES LINÉAIRES
1. Principales définitions. Quelques problèmes conduisant à des équations intégrales
2. Equations intégrales de Fredholm
3. Equations intégrales dépendant d'un paramètre. Méthode de Fred-holm

CHAPITRE X. ÉLÉMENTS DE CALCUL DIFFÉRENTIEL DANS UN ESPACE VECTORIEL
1. Différentiation dans un espace vectoriel
2. Problèmes d'extremum
3. Méthode de Newton

COMPLÉMENT. ALGÈBRE DE BANACH
1. Définitions. Exemples d'algèbres de Banach
2. Spectre et résolvante
3. Quelques résultats auxiliaires
4. Théorèmes fondamentaux

Titre : Elements de la theorie des fonctions et de l'analyse fonctionnelle

auteur(s) : A. Kolmogorov, S. Fomine

size : 4 Mb

file type : djvu



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