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Analyse Fonctions de plusieurs variables et géométrie analytique : Cours et exercices corrigés.

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Fonctions de plusieurs variables et géométrie analytique : Cours et exercices corrigés.

Description :


Rédigé à l’attention des étudiants en deuxième année de Licence, ce cours complet sur les fonctions de plusieurs variables et la géométrie analytique est illustré de 134 exercices d’application aux solutions très détaillées. D’une lecture aisée, ce manuel d’analyse sera également utile aux étudiants en deuxième année de classes préparatoires, voire à ceux qui, préparant le CAPES ou l'Agrégation de mathématiques, désirent consolider leurs connaissances dans ce domaine.

Avant propos

CET OUVRAGE est destiné à tous les étudiants qui peuvent avoir besoin d'étudier les fonctions de plusieurs variables, les courbes paramétrées, les intégrales doubles ou triples, curvilignes ou de surface, et les opérateurs différentiels.

Bien sûr, les étudiants en deuxième année de licence de mathématiques sont les premiers concernés, mais il ne fait aucun doute qu'un étudiant scientifique curieux d'avoir des explications rigoureuses sur les outils qu'il est obligé de manipuler quotidiennement, pourra lui aussi être intéressé par le contenu de ce manuel.

Les candidats aux concours de l'enseignement (CAPES et Agrégation de mathématiques), quant à eux, doivent avoir vu et compris les notions développées dans cet ouvrage, qui leur sera donc d'un grand secours.

La particularité de cet ouvrage est qu'il essaie de ne jamais faire de raccourci et que tous les raisonnements sont parfaitement détaillés. Il apparaît ainsi comme un outil idéal pour tout étudiant isolé qui voudrait acquérir, comprendre et dominer par lui-même toutes les notions abordées.

Dans ce manuel, on trouvera d'abord 5 chapitres de cours très détaillés, rédigés dans un style clair et accessible:

  1. un chapitre sur l'introduction à la topologie de Rn dans lequel sont présentés tout le vocabulaire de topologie utile dans cet ouvrage ainsi que l'étude générale de la topologie;
  2. un chapitre sur les études des courbes paramétrées (ou fonctions vectorielles) qui expose de manière exhaustive toutes les particularités classiques de ce type de courbes;
  3. un gros chapitre sur les fonctions de plusieurs variables (de IRp vers Rn qui constitue le cœur de cet ouvrage et dans lequel sont introduites les notions de continuité, de limites, de dérivées partielles, de différentiabilité pour toutes ces fonctions et étudiés les opérateurs différentiels classiques;
  4. un chapitre sur les intégrales curvilignes qui propose une introduction rigoureuse de la notion d'arc paramétré, avant d'étudier différents aspects possibles de l'intégration sur un arc paramétré, de l'intégration d'une forme différentielle ou d'un champ de vecteurs, mais aussi l'intégration d'une fonction scalaire, avec le calcul de la longueur d'une courbe. On y montre également comment utiliser l'intégrale curviligne pour calculer des aires;
  5. un dernier chapitre traite des différents aspects des intégrales multiples, dans lequel toutes les démonstrations ne sont pas faites. Cependant, à partir de quelques propriétés admises, tous les résultats utiles pour calculer les intégrales doubles et triples, et faire des calculs d'aires ou de volumes, sont prouvés. Il s'agit ensuite de s'intéresser aux intégrales de surface et, après une introduction rapide de la notion de nappe paramétrée (introduction aux variétés différentiables), les calculs de flux d'un champ de vecteurs, d'aire d'une nappe, et d'intégrale d'une fonction scalaire sur une nappe sont expliqués. Enfin, le chapitre se termine sur les grands théorèmes liant les intégrales multiples entre elles: Green-Riemann, Ampère-Stokes, Ostrograd-ski, avec pour chacun de ces théorèmes une démonstration élémentaire et convaincante.


A la fin de chaque chapitre, est proposée une liste d'exercices dont la difficulté est très progressive.

Pour chaque exercice, on trouve d'abord des « indications» pour les résolutions, puis un corrigé détaillé, regroupés dans deux chapitres distincts, situés en fin d'ouvrage. Le lecteur est invité à commencer par essayer de résoudre seul les exercices proposés, et à ne consulter les indications que s'il ne voit pas comment commencer. Enfin, il pourra vérifier sa solution en la comparant avec celle de l'ouvrage, qui est toujours très détaillée et dont la rédaction se veut pouvoir servir de modèle.

C'est à partir d'un cours par correspondance qui a fait la preuve de son efficacité avec des générations d'étudiants, que ce livre a été réalisé.

Nous souhaitons une bonne réussite à tous nos lecteurs.

Tables de matiéres


1 Notions de topologie dans Rn
1.1 Introduction générale
1.2 Qu'est-ce que IRn?
1.3 Normes dans IRn
1.4 Ouverts, fermés, bornés, voisinages dans IRn
1.5 Suites de IRn.
1.6 Vocabulaire de topologie.
1.7 Exercices

2 Fonctions vectorielles. Courbes paramétrées.
2 .1 Introduction.
2.2 Différents points de vue
2.3 Limite, continuité, dérivabilité des fonctions vectorielles
2.4 Étude des courbes paramétrées du plan
2.5 Étude des points stationnaires.
2.6 Exercices

3 Fonctions de IRp vers IRn
3 .1 Introduction
3.2 Limites des fonctions de IRn vers IRn
3.3 Limites et fonctions coordonnées
3.4 Étude pratique des limites de fonctions réelles de plusieurs variables
3.5 Dérivation partielle
3.6 Extruma des fonctions de plusieurs variables
3.7 Différentiabilité d'une fonction de plusieurs variables
3.8 Différentiation des fonctions de IRp vers IRn
3.9 Opérateurs différentiels
3.10 Exercices

4 Intégrale curviligne. Longueur d'une courbe
4.1 Introduction
4.2 Intégrale d'une fonction vectorielle .
4.3 Arcs paramétrés orientés .
4.4 Intégrale curviligne .
4.5 Propriétés de l'intégrale curviligne .
4.6 Étude d'exemples.
4.7 Utilisation des intégrales curvilignes pour des calculs d'aires
4.8 Quelques propriétés métriques des arcs
4.9 Exercices

5 Calculs d'intégrales doubles, triples et de surface
5.1 Introduction
5.2 Intégrale double
5.3 Intégrales triples
5.4 Intégrales de surface
5.5 Exercices

Indications pour la résolution des exercices
Solutions des exercices
1. Solutions des exercices sur la topologie dans IRn
2. Solutions des exercices sur fonctions vectorielles et courbes paramétrées
3. Solutions des exercices sur les fonctions de IRp vers IRn
4. Solutions des exercices sur l'intégrale curviligne
5. Solutions des exercices sur intégrales doubles, triples et de surface.

Titre : Fonctions de plusieurs variables et géométrie analytique : Cours et exercices corrigés.

auteur(s) : Bruno Aebischer

size : 4 Mb

file type : djvu




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